Question

設(5x

1

2

-x

1

3

)n展開式的各項系數的和為M，二項式系數的和為N，M-N=992，則展開式中x² 項的系數為（　　）

• A、250
• B、-250
• C、150
• D、-150

Answer 1

分析：利用賦值法求出展開式的各項系數和，據展開式的二項式系數和為2ⁿ，列出方程求出n；利用二項展開式的通項公式求出第r+1項，令x的指數為2求出展開式中x²項的系數．

解答：解：令x=1得M=4ⁿ，又N=2ⁿ，
∵M-N=992，∴4ⁿ-2ⁿ=992，
令2ⁿ=k，則k²-k-992=0，
∴k=32，∴n=5，
∵T_r+1=C₅^r(5x

1

2

)5-r(-x

1

3

)r
=（-1）^r•C₅^r•5^5-r•x

15-r

6

，
令

15-r

6

=2，得r=3，
∴x²項系數為（-1）³C₅³•5²=-250．
故選項為B

點評：本題考查利用賦值法求展開式的各項系數和；二項展開式的二項式系數的性質；利用二項展開式的通項公式求展開式的特定項．