Question

學校要用三輛校車從南校區把教職工接到校本部，已知從南校區到校本部有兩條公路，校車走公路①堵車的概率為

1

4

，不堵車的概率為

3

4

；校車走公路②堵車的概率為，不堵車的概率為1-p．若甲、乙兩輛校車走公路①，丙校車由于其他原因走公路②，且三輛車是否堵車相互之間沒有影響．
（Ⅰ）若三輛校車中恰有一輛校車被堵的概率為

7

16

，求走公路②堵車的概率；
（Ⅱ）在（I）的條件下，求三輛校車中被堵車輛的輛數ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（1）由已知條件得

C

1 2

•

1

4

•

3

4

•(1-p)+(

3

4

)2•p=

7

16

，由此能求出走公路②堵車的概率．
（2）ξ可能的取值為0，1，2，3，分別求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2）和P（ξ=3），由此能求出ξ的分布列和數學期望．

解答：解：（1）由已知條件得

C

1 2

•

1

4

•

3

4

•(1-p)+(

3

4

)2•p=

7

16

，
即3p=1，則p=

1

3

，
答：走公路②堵車的概率為

1

3

．
（2）解：ξ可能的取值為0，1，2，3
P（ξ=0）=

3

4

•

3

4

•

2

3

=

3

8

，
P（ξ=1）=

7

16

，
P（ξ=2）=

1

4

•

1

4

•

2

3

+

C

1 2

•

1

4

•

3

4

•

1

3

=

1

6

，
P（ξ=3）=

1

4

•

1

4

•

1

3

=

1

48

．
ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
	3 8	7 16	1 6	1 48

所以Eξ=0•

3

8

+1•

7

16

+2•

1

6

+3•

1

48

=

5

6

答：數學期望為

5

6

．

點評：本題考查離散型隨機變量的數學期望和方差，是中檔題，是歷年高考的必考題型之一．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．