Question

已知MN是⊙C：x²+（y-2）²=1的直徑，點P是雙曲線x²-y²=1上一點，則

MP

•

PN

的最大值等于

-2

．

Answer 1

分析：由題意可設直線MN所在的直線方程為x=ky-2k，聯立直線與圓的方程可求M，N的坐標，然后設P（x，y），從而可表示

MP

，

PN

，利用向量的數量積的坐標表示可求

MP

•

PN

，結合二次函數的性質即可求解

解答：解：由題意可設直線MN所在的直線方程為x=ky-2k
聯立

x=ky-2k x2+(y-2)2=1

可得(y-2)2=

1

1+k2

∴M（-k

1 1+k2

，2-

1 1+k2

），N（k

1 1+k2

，2+

1 1+k2

）
設P（x，y）則

MP

=（x+k

1 1+k2

，y-2+

1 1+k2

），

PN

=（k

1 1+k2

-x，2+

1 1+k2

-y）
∴則

MP

•

PN

=-x2+

k2

1+k2

-(2-y)2+

1

1+k2

=-y²-1-（2-y）²+1=-2y²+4y-4
=-2（y-1）²-2≤-2
即最大值為-2
故答案為：-2

點評：本題主要考查了直線與圓相交關系的應用，向量的數量積的坐標表示的應用，還考查了一定的運算能力