Question

在數列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=2a_n+n，n∈N^*．
（1）證明數列{a_n+n+1}是等比數列；
（2）求a_n的表達式；
（3）求數列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）a_n+1+n+2=2a_n+n+n+2=2（a_n+n+1），根據等比數列的定義可作出判斷；
（2）由（1）利用等比數列的通項公式可求得a_n+n+1，進而可得a_n；
（3）利用分組求和可求得S_n．

解答：解：（1）∵a_n+1+n+2=2a_n+n+n+2=2（a_n+n+1），
又a₁=2，
∴{a_n+n+1}是等比數列，且公比為2，首項為4；
（2）由（1）可知，a_n+n+1=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹，
∴a_n=2ⁿ⁺¹-n-1；
（3）S_n=（2²-1-1）+（2³-2-1）+（2⁴-3-1）+…+（2ⁿ⁺¹-n-1）
=（2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹）-（1+2+3+…+n）-n
=

4(1-2n)

1-2

-

n(n+1)

2

-n
=2ⁿ⁺²-

n(n+1)

2

-n-4．

點評：本題考查等比關系的確定、數列的求和，屬中檔題，定義是判斷等差、等比數列的基本方法．