Question

已知函數f（x）=

1

2

x²+

3

2

x，數列{a_n}的前n項和為S_n，點（n，S_n）（n∈N^*）均在函數f（x）的圖象上．
（1）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（2）令cn=

an

an+1

+

an+1

an

證明：2n＜c₁+c₂+…+c_n＜2n+

1

2

．

Answer 1

分析：（1）點（n，S_n）均在函數y=f（x）的圖象上，則s_n=

1

2

n²+

3

2

n，可得a_n=S_n-S_n-1=n+1，并驗證a₁即可；
（2）證明：由c_n=

n+1

n+2

+

n+2

n+1

＞2，得c₁+c₂+…+c_n＞2n；由c_n=

n+1

n+2

+

n+2

n+1

=2+

1

n+1

-

1

n+2

，得c₁+c₂+…+c_n=2n+（

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

）=2n+

1

2

-

1

n+2

＜2n+

1

2

；即證．

解答：解：（1）∵點（n，S_n）均在函數y=f（x）的圖象上，
∴Sn=

1

2

n2+

3

2

n，當n=1時，a1=S1=2，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n+1，a₁也適合，所以a_n=n+1（n∈N^*）．
（2）證明：∵cn=

an

an+1

+

an+1

an

=

n+1

n+2

+

n+2

n+1

＞2，∴c₁+c₂+…+c_n＞2n；
又c_n=

n+1

n+2

+

n+2

n+1

=2+

1

n+1

-

1

n+2

，∴c₁+c₂+…+c_n=2n+（

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

）=2n+

1

2

-

1

n+2

＜2n+

1

2

；
∴2n＜c₁+c₂+…+c_n＜2n+

1

2

．

點評：本題考查了數列與函數的綜合應用問題，解題時運用了數列的前n項和求通項公式，應用基本不等式，拆項法等證明不等式成立，屬于中檔題．