Question

（本小題滿分12分）
數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=a，S_n+1=2S_n+n+1，n∈N*
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）當a=1時，若設數列{b_n}的前n項和T_n，n∈N*，證明T_n＜2。

Answer 1

解：
（Ⅰ）由S_n+1=2S_n+n+1      ①得
        ②
①—②得

故 a_n+1=2a_n +1。（n≥2）···············································（2分）
又 a_n+1+1=2（a_n+1），
所以
故數列{a_n+1}是從第2項其，以a₂+1為首項，公比為2的等比數列。
又 S₂=2S₁+1+1，a₁=a，所以a₂=a+2。
故 a_n=(a+3)·2^n-2-1(n≥2).
又a₁=a不滿足a_n=(a+3)·2^n-2-1，
所以    ····································6分
（Ⅱ）由a₁=1，得a_n==2ⁿ-1，n∈N*，則

又     ①
得       ②
①—②得

故
所以 ································12分

解析