Question

【題目】已知函數的圖象在處的切線為.（為自然對數的底數）.

（1）求，的值；

（2）當時，求證：；

（3）若對任意的恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）

【解析】

（1）因為，可得，根據函數的圖象在處的切線為，即可求得答案；

（2）由（1）可知，.令，，由，得，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，即可求得答案；

（3）因為對任意的恒成立，可得 對任意的恒成立，令，，結合已知，即可求得答案.

（1），

.

函數的圖象在處的切線為

.

解得：

（2）由（1）可知，.

令，，由，得，

當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增.

，

.

（3）對任意的恒成立

對任意的恒成立，

令，，

.

由（2）可知當時，恒成立，

令，得；

，得.

的增區間為，減區間為

故.

，

實數的取值范圍為.