Question

【題目】已知，（其中常數）.

（1）當時，求函數的極值；

（2）若函數有兩個零點，求證：.

Answer 1

【答案】（1）有極小值，無極大值；（2）證明見解析.

【解析】

（1）求出a＝e的函數的導數，求出單調區間，即可求得極值；（2）先證明：當f（x）≥0恒成立時，有 0＜a≤e成立．若，則f（x）＝ex﹣a（lnx+1）≥0顯然成立；若，運用參數分離，構造函數通過求導數，運用單調性，結合函數零點存在定理，即可得證.

函數的定義域為，

（1）當時，，，在單調遞增且

當時，，所以在上單調遞減；

當時，，則在上單調遞增，

所以有極小值，無極大值.

（2）先證明：當恒成立時，有成立

若，則顯然成立；

若，由得，令，則，

令，由得在上單調遞增，

又∵，所以在上為負，遞減，在上為正，遞增，∴ ，從而.

因而函數若有兩個零點，則，所以，

由得，則，

∴在上單調遞增，∴，

∴在上單調遞增∴，則

∴，由得，

則，∴，綜上.