Question

已知數列{a_n}中，首項a₁=1，S_n是其前n項的和，并且滿足S_n=n²a_n（n∈N^*）．
（1）試求a₂，a₃，a₄，a₅；
（2）試歸納數列{a_n}的通項公式，并用數學歸納法證明．

Answer 1

分析：（1）利用數列的前n項和與第n項的關系，得到關于數列的遞推關系式，即可求得此數列的前幾項．
（2）用數學歸納法證明數列問題時分為兩個步驟，第一步，先證明當n=1時，結論顯然成立，第二步，先假設當n=k+1時，有a_k=

2

k(k+1)

，利用此假設證明當n=k+1時，結論也成立即可．

解答：解：（1）∵S_n=n²a_n，∴a_n+1=S_n+1-S_n=（n+1）²a_n+1-n²a_n
∴an+1=

n

n+2

an
∴a2=

1

3

，a3=

1

6

，a4=

1

10

，a5=

1

15

，
（2）猜測 an=

2

n(n+1)

；下面用數學歸納法證
①當n=1時，結論顯然成立．
②假設當n=k時結論成立，即a_k=

2

k(k+1)

則當n=k+1時，ak+1=

k

k+2

ak=

k

k+2

×

2

k(k+1)

=

2

(k+1)(k+2)

故當n=k+1時結論也成立．
由①、②可知，對于任意的n∈N*，都有a_n=

2

n(n+1)

．

點評：本題主要考查數列遞推式、數學歸納法，第（1）問要注意遞推公式的靈活運用，第（2）問要注意數學歸納法的證明技巧．數學歸納法的基本形式設P（n）是關于自然數n的命題，若1°P（n₀）成立2°假設P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切大于等于n₀的自然數n都成立．