Question

在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁內隨機取一點P，則點P到點O距離大于1的概率為

1-

π

12

．

Answer 1

分析：本題是幾何概型問題，欲求點P與點O距離大于1的概率，先由與點O距離等于1的點的軌跡是一個半球面，求出其體積，再根據幾何概型概率公式結合正方體的體積的方法易求解．

解答：解：本題是幾何概型問題，
與點O距離等于1的點的軌跡是一個半球面，
其體積為：V₁=

1

2

×

4

3

π×1³=

2π

3

“點P與點O距離大于1的概率”事件對應的區域體積為2³-

2π

3

，
則點P與點O距離大于1的概率是

23- 2π 3

23

=1-

π

12

．
故答案為：1-

π

12

．

點評：本題考查幾何概型的計算，關鍵在于掌握正方體的結構特征與正方體、球的體積公式．