Question

設雙曲線C₁的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），A、B為其左、右兩個頂點，P是雙曲線C₁上的任意一點，作QB⊥PB，QA⊥PA，垂足分別為A、B，AQ與BQ交于點Q．
（1）求Q點的軌跡C₂方程；
（2）設C₁、C₂的離心率分別為e₁、e₂，當e1≥

2

時，求e₂的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）欲求Q點的軌跡C₂方程，設Q（x，y），即求出Q點的坐標之間的關系式，再設P（x₀，y₀），A（-a，0），B（a，0），利用QB⊥PB，QA⊥PA，直線的斜率之積為-1，即可建立Q點的坐標之間的關系式，從而得出Q點的軌跡C₂方程；
（2）由（1）得C₂的方程為

x2

a2

-

y2

a4 b2

=1，利用其幾何性質求出離心率，得出與e₁的關系式，最后根據e₁的范圍即可得出e₂的取值范圍．

解答：解：（1）如圖，設P（x₀，y₀），Q（x，y），A（-a，0），B（a，0），QB⊥PB，QA⊥PA，
∴

y0 x0+a • y x+a =-1 y0 x0-a • y x-a =-1

兩式相乘得：

y 2 0

x 2 0 -a2

•

y2

x2-a2

=1①
∵

x 2 0

a2

-

y 2 0

b2

=1，∴

y 2 0

x 2 0 -a2

=

b2

a2

，代入①得b²y²=x²a²-a⁴，即a²x²-b²y²=a⁴．
經檢驗，點（-a，0），（a，0）不合題意，因此Q點的軌跡方程是a²x²-b²y²=a⁴（點（-a，0），（a，0）除外）．
（2）由（1）得C₂的方程為

x2

a2

-

y2

a4 b2

=1.

e

2 2

=

a2+ a4 b2

a2

=1+

a2

b2

=1+

a2

c2-a2

=1+

1

e 2 1 -1

，
∵e1≥

2

，∴e

2 2

≤1+

1

( 2 )2-1

=2，
∴1＜e≤

2

．

點評：本小題主要考查雙曲線的簡單性質、直線垂直的條件、不等式、點的軌跡方程等基本知識，考查化歸以及數形結合等數學思想方法，考查分析問題、解決問題的能力．