Question

設函數f（x）=-x（x-a）²，x∈R，其中a∈R．
（Ⅰ）當a≠0時，求函數f（x）的極大值和極小值；
（Ⅱ）當a＞3時，是否存在實數k∈[-1，0]，使不等式f（k-cosx）≥f（k²-cos²x）對任意的x∈R恒成立，若存在，求出k的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導數，利用導數研究函數的極大值和極小值．
（Ⅱ）將不等式恒成立問題轉化為最值恒成立，然后構造函數，利用導數求最值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=-x（x-a）²=-x³+2ax²-a²x，所以f'（x）=-3x²+4ax-a²=-（3x-a）（x-a）．．
令f'（x）=0，得x=a或x=

a

3

．
①若a＞0，當x變化時，f'（x）的正負如下表：

x	（-∞， a 3 ）	a 3	（ a 3 ，a）	a	（a，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-

因此，函數f（x）在x=

a

3

處取得極小值f(

a

3

)=-

4

27

a3；函數f（x）在x=a處取得極大值f（a），且f（a）=0．…（4分）
②若a＜0，當x變化時，f'（x）的正負如下表：

x	（-∞，a）	a	（a， a 3 ）	a 3	（ a 3 ，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-

因此，函數f（x）在x=a處取得極小值f（a），且f（a）=0；函數f（x）在x=

a

3

處取得極大值f（

a

3

），且f(

a

3

)=-

4

27

a3．…（6分）
（Ⅱ）假設存在實數k∈[-1，0]，使不等式f（k-cosx）≥f（k²-cos²x）對任意的x∈R恒成立，
由a＞3，得

a

3

＞1，當k∈[-1，0]時，k-cosx≤1，k²-cos²x≤1．
由②知f（x）在（-∞，1]上是減函數，要使f（k-cosx）≥f（k²-cos²x）對任意的x∈R恒成立，
只要k-cosx≤k²-cos²x，即cos²x-cosx≤k²-k成立．
因為g（x）=cos²x-cosx=（cosx-

1

2

）²-

1

4

，所以g（x）的最大值為2．此時有k²-k≥2，解得k≥2或k≤-1．
因為k∈[-1，0]，所以k=-1．
即存在k=-1．使得f（k-cosx）≥f（k²-cos²x）對任意的x∈R恒成立．

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的極值和最值問題，運算量較大，綜合性較強．考查了學生的運算能力．