Question

設α∈（0，），函數f（x）的定義域為[0，1]，且f（0）=0，f（1）=1，對定義域內任意的x，y，滿足f（）=f（x）sinα+（1-sinα）f（y），求：
（1）f（）及sinα的值；
（2）函數g（x）=sin（α-2x）的單調遞增區間；
（3）（理）n∈N時，a_n=，求f（a_n），并猜測x∈[0，1]時，f（x）的表達式（不需證明）．

Answer 1

【答案】分析：（1）分別取x=1，y=0與x=0，y=1，求出sinα的值，從而求出f（）的值；
（2）先求出α，然后根據正弦函數的單調區間求出該函數的單調區間，將看成整體進行求解即可；
（3）根據條件可得f（a_n）是首項為f（a₁）=，公比為的等比數列，即可猜測：f（x）=x．
解答：解：（1）f（）=f（1）sinα+（1-sinα）f（0）=sinα，
又：f（）=f（0）sinα+（1-sinα）f（1）=1-sinα，
∴sinα=1-sinα⇒sinα=
∴f（）=1-=
（2）由（1）知：sinα=，又α∈（0，）
∴α=
∴g（x）=sin（），
∴g（x）的增區間為[kπ-]（k∈Z）．
（3）∵n∈N，a_n=，f（a_n）=f（）（n∈N，n≥2）
∴f（a_n）是首項為f（a₁）=，公比為的等比數列，故f（a_n）=f（a₁）•q^n-1′=，猜測：f（x）=x．
點評：本題主要考查了正弦函數的單調性，以及數列與函數的綜合，同時考查了計算能力，屬于中檔題．