Question

在平面直角坐標系中，橫坐標和縱坐標均為整數的點稱為整點，對任意自然數n，連接原點O與點A_n（n，n+3），若用f（n）表示線段OA_n上除端點外的整點個數，則f（1）+f（2）+…+f（2010）=    ．

Answer 1

【答案】分析：因為線段OA_n斜率k=，方程為y=x+，所以n為3的倍數，才能找出比n小的整數x，使得y也為整數．由此入手能夠求出f（1）+f（2）+…+f（2010）的值．
解答：解：∵線段OA_n斜率k=，方程為y=x+，
∴n為3的倍數，才能找出比n小的整數x，使得y也為整數．
∴當n=3，6，9，12，…，2010時，線段OA_n上有除端點外的2個整點．
數列3，6，9，12，…，2010是首項為3，公差為3的等差數列，其通項公式為a_m=3m．
由3m=2010知m=670，∴f（1）+f（2）+…+f（2010）=2×670=1340．
點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，挖掘題設條件中的隱含條件．