Question

已知點P為圓周x²+y²=4的動點，過P點作PH⊥x軸，垂足為H，設線段PH的中點為E，記點E的軌跡方程為C，點A（0，1）
（1）求動點E的軌跡方程C；
（2）若斜率為k的直線l經過點A（0，1）且與曲線C的另一個交點為B，求△OAB面積的最大值及此時直線l的方程；
（3）是否存在方向向量的直線l，使得l與曲線C交與兩個不同的點M，N，且有？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲求動點E的軌跡方程，設E（x，y），只須求出其坐標x，y的關系式即可，利用P（x，2y）點在圓上，即可得到答案；
（2）根據三角形的面積公式得，欲求面積的最大值，只須考慮|x_B|的最大值即可．由此求出直線l的方程；
（3）先假設存在符合題設條件的直線l，設其方程為：y=kx+m，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用中點坐標公式，求出k的取值范圍，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．
解答：解：（1）設E（x，y），則P（x，2y），而P點在圓上
所以x²+4y²=4，即
（2）
而|x_B|≤2，故當x_B=±2時，△OAB面積的最大值為1
此時，直線l的方程為：x-2y+2=0或x+2y-2=0
（3）假設存在符合題設條件的直線l，設其方程為：y=kx+m，
M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點Q（x，y）
于是⇒（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0
△=64k²m²-4（1+4k²）（4m²-4）＞0
4k²-m²+1＞0…①
而
故
從而

而
故k_AQ•k=-1
可得：3m=-4k²-1…②
由①②得：-3＜m＜0
故
點評：考查軌跡的求法和向量在幾何中的應用，直線與圓錐曲線相交弦的中點問題，解題方法一般聯立，消元，利用韋達定理，體現了方程的思想和轉化的思想方法，屬中檔題．