Question

已知點(diǎn)P為圓周x²+y²=4的動(dòng)點(diǎn)，過P點(diǎn)作PH⊥x軸，垂足為H，設(shè)線段PH的中點(diǎn)為E，記點(diǎn)E的軌跡方程為C，點(diǎn)A（0，1），
（1）求動(dòng)點(diǎn)E的軌跡方程C；
（2）若斜率為k的直線l經(jīng)過點(diǎn)A（0，1）且與曲線C的另一個(gè)交點(diǎn)為B，求△OAB面積的最大值及此時(shí)直線l的方程；
（3）是否存在方向向量的直線l，使得l與曲線C交與兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N，且有？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（1）設(shè)E（x，y），則P（x，2y），
而P點(diǎn)在圓上，
所以；
（2），
而，
故當(dāng)時(shí)，△OAB面積的最大值為1，
此時(shí)，直線l的方程為：。
（3）假設(shè)存在符合題設(shè)條件的直線l，設(shè)其方程為：y=kx+m，
，MN的中點(diǎn)，
于是，
，
，………………………………………①
而，
故，
，
而，
故，
可得：，…………………………………②
由①②得：，
故。