Question

已知，當時，的值域為且.
（1）若求的最小值；
（2）若求的值；
（3）若且，求的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）∵，∴在區間上單調遞增，∴， ┄┄3分
∴當時，即的最小值是； ┄┄5分
（Ⅱ）解法一
∵當時，在上單調遞減，在上單調遞增，
∴                     ┄┄┄6分
①當，即時，在單調遞增，
∴，（舍去）；
②當，即時，的最小值是，
∴，（舍去）；
③當，即時， 在單調遞減，
∴，．                                       ┄┄┄9分
綜上可得：．                                           ┄┄┄10分
解法二
當時，恒成立，即恒成立，
∴；                       ┄┄┄7分
當時，恒成立，即恒成立，
∴；                        ┄┄┄9分
綜上可得：．                                          ┄┄┄10分
（Ⅲ）①若，即時，在單調遞增，
∴，無解；             ┄┄┄11分
②當即時在遞減，在遞增，
∴

                                      ┄┄┄13分
③當，即時，函數在區間上單調遞減，
∴，無解；                 ┄┄┄14分
綜上可得：                                    ┄┄┄16分

略