Question

（2013•東城區二模）某校高三年級同學進行體育測試，測試成績分為優秀、良好、合格三個等級．測試結果如下表：（單位：人）

	優秀	良好	合格
男	180	70	20
女	120	a	30

按優秀、良好、合格三個等級分層，從中抽取50人，其中成績為優的有30人．
（1）求a的值；
（2）若用分層抽樣的方法，在合格的同學中按男女抽取一個容量為5的樣本，從中任選2人，記X為抽取女生的人數，求X的分布列及數學期望．

Answer 1

分析：（I）利用分層抽樣的計算公式即可得出，進而求出a的值；
（II）由題意，X所有取值0，1，2．在合格的同學中按男女抽取一個容量為5的樣本，則抽取的男生數=

20

50

×5=2，抽取的女生數=5-2=3．根據古典概型的概率計算公式分別計算出概率，即可得到分布列及數學期望．

解答：解：（Ⅰ）設該年級共n人，由題意得

50

n

=

30

180+120

，解得n=500．
則a=500-（180+120+70+20+30）=80．
（Ⅱ）依題意，X所有取值0，1，2．
在合格的同學中按男女抽取一個容量為5的樣本，則抽取的男生數=

20

50

×5=2，抽取的女生數=5-2=3．
∴P（X=0）=

C 2 2

C 2 5

=

1

10

，P（X=1）=

C 1 2 C 1 3

C 2 5

=

3

5

，P（X=2）=

C 2 3

C 2 5

=

3

10

．
X的分布列為：

X	0	1	2
P	1 10	3 5	3 10

EX=0×

1

10

+1×

3

5

+2×

3

10

=

6

5

．

點評：熟練掌握分層抽樣的意義及其計算公式、古典概型的概率計算公式、隨機變量的分布列及其數學期望是解題的關鍵．