Question

（2013•泉州模擬）已知長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD為正方形，D₁D⊥面ABCD，AB=4，AA₁=2，點E在棱C₁D₁上，且D₁E=3．
（Ⅰ）試在棱CD上確定一點E₁，使得直線EE₁∥平面D₁DB，并證明；
（Ⅱ）若動點F在底面ABCD內，且AF=2，請說明點F的軌跡，并探求EF長度的最小值．

Answer 1

分析：（I）取CD的四等分點E₁，使得DE₁=3，可證出D₁EE₁D為平行四邊形，得D₁D∥EE₁，結合線面平行的判定定理，可證出直線EE₁∥平面D₁DB，因此當點E₁是CD靠近C的四等分點時，滿足EE₁∥平面D₁DB；
（II）根據題意，點F的軌跡是在平面ABCD內，以A為圓心、半徑等于2的四分之一圓弧．根據線面垂直的性質，得E₁E⊥面ABCD，所以Rt△EE₁F中，得EF=

4+E1F2

，所以E₁F的長度取最小值時EF的長度最小．結合圖形得E₁F的最小值為3，由此可得
EF長度的最小值為

4+3  2

=

13

．

解答：解：（Ⅰ）取CD的四等分點E₁，使得DE₁=3，則有EE₁∥平面D₁DB．證明如下：…（1分）
∵D₁E∥DE₁且D₁E=DE₁，
∴四邊形D₁EE₁D為平行四邊形，可得D₁D∥EE₁，…（2分）
∵DD₁?平面D₁DB，EE₁?平面D₁DB，∴EE₁∥平面D₁DB．…（4分）
（Ⅱ）∵AF=2，
∴點F在平面ABCD內的軌跡是以A為圓心、半徑等于2的四分之一圓弧．…（6分）
∵EE₁∥DD₁，D₁D⊥面ABCD，∴E₁E⊥面ABCD，…（7分）
Rt△EE₁F中，可得EF=

E1E2+E1F2

=

4+E1F2

．…（8分）
因此，當E₁F的長度取最小值時，EF的長度最小，此時點F為線段AE₁和四分之一圓弧的交點，…（10分）
即E₁F=E₁A-AF=5-2=3，
此時，EF=

E1E2+E1F2

=

13

．
∴EF長度的最小值為

13

．…（12分）

點評：本小題在長方體中求證線面平行，并EF長度的最小值．著重考查了直線與直線、直線與平面的位置關系等基礎知識，考查空間想象能力、推理論證能力及運算求解能力，考查化歸與轉化思想等知識，屬于中檔題．