Question

已知函數f（x）=2x³+ax²+bx+3在x=-1和x=2處取得極值．
（1）求f（x）的表達式和極值．
（2）若f（x）在區間[m，m+4]上是單調函數，試求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出導函數，利用導數在極值點處的值為0，列出方程組，求出a，b，代入f（x）和f′（x）；令f′（x）＞0求出x的范圍即為遞增區間，令f′（x）＜0求出x的范圍為遞減區間，并利用極值的定義求出極值．
（2）根據題意，令[m，m+4]在（-∞，-1）內或在（2，+∞）內或在（-1，2）內，列出不等式組，求出m的范圍．

解答：解：（1）∵f′（x）=6x²+2ax+b
∴

f′(-1)=0 f′(2)=0

即

6-2a+b=0 24+4a+b=0

解得

a=-3 b=-12

∴f（x）=2x³-3x²-12x+3
f′（x）=6x²-6x-12
f′（x）＞0解得x＜-1或x＞2
由f′（x）＜0解得-1＜x＜2
故函數f（x）在（-∞，-1）和（2，+∞）遞增，函數在（-1，2）遞減
所以當x=-1時，有極大值10；當x=2時，有極小值-17
（2）由（1）知，若f（x）在區間[m，m+4]上是單調函數，需
m+4≤-1或

m≥-1 m+4≤2

或m≥2
所以m≤-5或m≥2

點評：本題考查函數在極值點處的導數值為0、考查利用導函數的符號判斷函數的單調性、考查極值的求法、考查函數在其單調區間的子集上都是單調的．