Question

設函數f(x)=ax³+cx(a、c∈R)，當x=1時，f(x)取得極小值.

（1）求f(x)的解析式；

（2）若x₁、x₂∈［-1,1］時，求證：|f(x₁)-f(x₂)|≤.

Answer 1

（1）解:∵f(x)=ax³+cx,∴f′(x)=3ax²+c.

∵在x=1時,f(x)取極小值,

∴

∴f(x)=x³-x.

（2）證明：∵f′(x)=x²-1,令f′(x)=0,得x=±1.

∴x∈(-∞,-1)或x∈(1,+∞)時，f′(x)＞0;x∈(-1,1)時，f′(x)＜0.

∴f(x)在［-1，1］上是減函數，且f(x)_max=f(-1)=,

f(x)_min=f(1)=.

∴在x∈［-1，1］上，|f(x)|≤.

故|f(x₁)-f(x₂)|≤|f(x₁)|+|f(x₂)|≤+=