Question

（2013•鎮江二模）在矩形ABCD中，對角線AC與相鄰兩邊所成的角為α，β，則cos²α+cos²β=1．類比到空間中一個正確命題是：在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，對角線AC₁與相鄰三個面所成的角為α，β，γ，則有

cos²α+cos²β+cos²γ=2

．

Answer 1

分析：本題考查的知識點是類比推理，由在長方形中，設一條對角線與其一頂點出發的兩條邊所成的角分別是α，β，則有cos²α+cos²β=1，根據長方體性質可以類比推斷出空間性質，從而得出答案．

解答：解：我們將平面中的兩維性質，類比推斷到空間中的三維性質．
由在長方形中，設一條對角線與其一頂點出發的兩條邊所成的角分別是α，β，
則有cos²α+cos²β=1，
我們根據長方體性質可以類比推斷出空間性質，
∵長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
對角線AC₁與過A點的三個面ABCD，AA₁B₁B、AA₁D₁D所成的角分別為α，β，γ，
∴cosα=

AC

AC1

，cosβ=

AB1

AC1

，cosγ=

AD1

AC1

，
∴cos²α+cos²β+cos²γ
=

AC2+A B 2 1 +A D 2 1

A C 2 1

=

2(AB2+AD2+A A 2 1 )

AB2+AD2+A A 2 1

=2．
故答案為：cos²α+cos²β+cos²γ=2．

點評：本題考查的知識點是類比推理，在由平面圖形的性質向空間物體的性質進行類比時，常用的思路有：由平面圖形中點的性質類比推理出空間里的線的性質，由平面圖形中線的性質類比推理出空間中面的性質，由平面圖形中面的性質類比推理出空間中體的性質，或是將平面中的兩維性質，類比推斷到空間中的三維性質．