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已知函數
(I)若x≥0時,f(x)≤0,求λ的最小值;
(II)設數列{an}的通項an=1+
【答案】分析:(I)由于已知函數的最大值是0,故可先求出函數的導數,研究其單調性,確定出函數的最大值,利用最大值小于等于0求出參數λ的取值范圍,即可求得其最小值;
(II)根據(I)的證明,可取λ=,由于x>0時,f(x)<0得出,考察發現,若取x=,則可得出,以此為依據,利用放縮法,即可得到結論
解答:解:(I)由已知,f(0)=0,f′(x)=,且f′(0)=0…3分
若λ<,則當0<x<2(1-2λ)時,f′(x)>0,所以當0<x<2(1-2λ)時,f(x)>0,
若λ≥,則當x>0時,f′(x)<0,所以當x>0時,f(x)<0
綜上,λ的最小值為…6分
( II)令λ=,由(I)知,當x>0時,f(x)<0,即
取x=,則…9分
于是a2n-an+=++…++
=
=
=
==ln2n-lnn=ln2
所以…12分
點評:本題考查了數列中證明不等式的方法及導數求最值的普通方法,解題的關鍵是充分利用已有的結論再結合放縮法,本題考查了推理判斷的能力及轉化化歸的思想,有一定的難度
練習冊系列答案
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