Question

一個截面為拋物線形的舊河道,河口寬AB=4 m ,河深2 m ,現要將其截面改造為等腰梯形,要求河道深度不變,而且施工時只能挖土,不準向河道填土,試求當截面梯形的下底長為多少米時,才能使挖出的土最少?

Answer 1

解析：此題是一道實際應用問題,要將截面改造為等腰梯形,又要使所挖出的土最少,只能沿著拋物線上某一點的切線去挖.?

如圖,以拋物線頂點為原點,AB中垂線為y軸,建立直角坐標系,則A(-2,2),B(2,2).?

設拋物線方程:x²=2py(p＞0),將點B(2,2)代入得p=1 ,?

所以拋物線方程為x²=2y,即y=x².?

設等腰梯形的腰與拋物線相切于點P(t, t²),?

則過點P的切線l的斜率為y′|_x=t=t,?

所以一腰的方程為y-=t(x-t),?

即y=tx-.?

當y=0時,x=;y=2時,x=+.?

所以截面面積S=,當且僅當t=,即t=2時,“=”成立,此時下底邊長為.

答案：當截面梯形的下底面邊長為m時,挖出的土最少.