Question

一個截面為拋物線形的舊河道（如圖1），河口寬AB=4米，河深2米，現要將其截面改造為等腰梯形（如圖2），要求河道深度不變，而且施工時只能挖土，不準向河道填土．
（1）建立恰當的直角坐標系并求出拋物線弧AB的標準方程；
（2）試求當截面梯形的下底（較長的底邊）長為多少米時，才能使挖出的土最少？

Answer 1

分析：（1）以拋物線的頂點為原點，AB中垂線為y軸建立直角坐標系，一依題意可知A，B的坐標，設出拋物線的方程，把點B代入求得p，進而可求得拋物線的方程．
（2）設等腰梯形的腰與拋物線相切于P，則可利用導函數求得P的切線的斜率，表示直線l的方程，分別令y=0和2求得x，利用梯形面積求得面積的表達式，利用基本不等式求得三角形面積的小值．

解答：解：（1）如圖：以拋物線的頂點為原點，AB中垂線為y軸建立直角坐標系
則A（-2，2），B（2，2）
設拋物線的方程為x²=2Py（P＞0），
將點B（2，2）代入得P=1
所以拋物線弧AB方程為x²=2y（-2≤x≤2）
（2）設等腰梯形的腰與拋物線相切于P(t，

1

2

t2)，（不妨t＞0）
則過P(t，

1

2

t2)的切線l的斜率為y′|_x=t=t
所以切線l的方程為：y-

t2

2

=t(x-t)，即y=tx-

t2

2

令y=0，得x=

t

2

，
令y=2，得x=

t

2

+

2

t

，
所以梯形面積S=

1

2

[2•(

t

2

+

2

t

)+2•

t

2

]•2=2(t+

2

t

)≥4

2

當僅當t=

2

t

，即t=

2

時，“=”成立
此時下底邊長為2(

2

2

+

2

2

)=3

2

答：當梯形的下底邊長等于3

2

米時，挖出的土最少．

點評：考查待定系數法求曲線方程的知識；考查直線方程的知識；考查由函數導數或判別式法求曲線切線的知識；考查應用函數單調性或不等式求函數最值的知識；考查選擇恰當參數建立數學式子研究幾何圖形的解析幾何思維；考查根據實際選擇數學模型的能力（即數學建模能力）．