Question

已知函數f（x）=2x+alnx．
（1）若a＜0證明：對于任意的兩個正數x₁，x₂，總有≥f（）成立；
（2）若對任意的x∈[1，e]，不等式：f（x）≤（a+3）x-x²恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）將與f（）進行作差與0進行比較，利用均值不等式以及對數函數的性質可判定符號；
（2）由恒成立，轉化成只要：成立，根據自變量的范圍將a分離出來，利用導數研究不等式另一側函數在閉區間上的最小值即可．
解答：解：（1）由：，
而：，
又因為：a＜0，所以：，即：成立．
（2）由恒成立，即只要：成立；
又x∈[1，e]，易知x-lnx＞0
令（x∈[1，e]），
令：，h（x）_min=h（2）=2-ln2＞0，∴g′（x）＞0
所以：g（x）在x∈[1，e]上為增函數．
即：
點評：本題主要考查了函數恒成立問題，以及利用導數研究函數最值，屬于基礎題．