Question

【題目】下面左圖是我省某地斜拉式大橋的圖片，合肥一中學數學興趣小組對大橋有關數據進行了測量，并將其簡化為右圖所示.其中橋塔AB，CD與橋面AC垂直，若.

（1）當時，試確定點P在線段AC上的位置，并寫出求解過程；

（2）要使得達到最大，試問點P在線段AC上何處？請寫出求解過程.

Answer 1

【答案】(1)的位置在的中點處，過程見詳解；(2).

【解析】

（1）設，，在直角三角形中表示出，再利用和角公式即可求得，則問題得解；

（2）建立與之間的函數關系，利用均值不等式求函數最大值即可.

（1）設，，，

則

因為，故可得，

在中，，

在中，，

故，

即可得，

整理得，

解得或（舍）.

故當時，點的位置在的中點處.

（2）由（1）可知，

整理得，

因為，

故，即可得為銳角，

令，則，

故

則

當且僅當時，即時，

也即時，取得最大值，也最大.

故要使得達到最大，只需即可.