Question

某小型工廠安排甲乙兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，已知工廠生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品每噸所需要的原材料A、B、C的數(shù)量和一周內(nèi)可用資源數(shù)量如下表所示：

原材料	甲（噸）	乙（噸）	資源數(shù)量（噸）
A	1	1	50
B	4	0	160
C	2	5	200

如果甲產(chǎn)品每噸的利潤為300元，乙產(chǎn)品每噸的利潤為200元，那么應(yīng)如何安排生產(chǎn)，工廠每周才可獲得最大利潤？

Answer 1

分析：設(shè)工廠一周內(nèi)安排生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸、乙產(chǎn)品y噸，抽象出約束條件

x+y≤50 4x≤160 2x+5y≤200 y≥0 x≥0

，所獲周利潤為z元，依據(jù)題意，得目標(biāo)函數(shù)為z=300x+200y，，然后求得最優(yōu)解，即求得利潤的最大值和最大值的狀態(tài)．

解答：解：設(shè)工廠一周內(nèi)安排生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸、乙產(chǎn)品y噸，所獲周利潤為z元．　　（2分）
依據(jù)題意，得目標(biāo)函數(shù)為z=300x+200y，（4分）
約束條件為

x+y≤50 4x≤160 2x+5y≤200 y≥0 x≥0

．　　　　　　　　　　　　（8分）
欲求目標(biāo)函數(shù)z=300x+200y的最大值．
先畫出約束條件的可行域，求得有關(guān)點(diǎn)A(40，0)、B(40，10)、C(

50

3

，

100

3

)、D(0，40)，如圖陰影部分所示．
將直線300x+200y=0向上平移，可以發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過可行域的點(diǎn)B時，函數(shù)z=300x+200y的值最大（也可通過代凸多邊形端點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算，比較大小求得），最大值為14000（元）．　　　　（11分）
所以工廠每周生產(chǎn)甲產(chǎn)品40噸，乙產(chǎn)品10噸時，工廠可獲得的周利潤最大（14000元）．（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查用簡單的線性規(guī)劃研究目標(biāo)函數(shù)的最大和最小值，關(guān)鍵是通過平面區(qū)域，求得最優(yōu)解，屬于線性規(guī)劃的應(yīng)用題．