Question

【題目】如圖，在等腰梯形ABCD中，，E，F分別為AB，CD的中點，，M為DF中點.現將四邊形BEFC沿EF折起，使平面平面AEFD，得到如圖所示的多面體.在圖中，

（1）證明：；

（2）求二面角E-BC-M的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

1推導出，，折疊后，，，從而平面DCF，由此能證明；
2以F為坐標原點，分別以FD，FC，FE所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角的余弦值．

(1)證明：由題意，在等腰梯形ABCD中，，

分別為AB，CD的中點，

，，

折疊后，，，

，

平面DCF，

又平面DCF，

；

(2)

平面平面AEFD，平面平面，且，
平面BEFC，

，

，CF，EF兩兩垂直，
以F為坐標原點，分別以FD，FC，FE所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，

，

，
0，，2，，1，，
2，，1，，

設平面MBC的法向量y，，
則，取，得,

設平面EBC的法向量，

則

二面角的余弦值為．