Question

橢圓的離心率為，且過點(diǎn)（2，0）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=x+m與橢圓C交于兩點(diǎn)A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△OAB為直角三角形，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)離心率和（2，0）點(diǎn)代入橢圓方程進(jìn)而可求得a和c，進(jìn)而求得b，方程可得．
（2）把直線與橢圓聯(lián)立，消去y，根據(jù)判別式大于0，進(jìn)而可求得m的范圍．設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），當(dāng)∠AOB為直角時(shí)，根據(jù)，、求得m；當(dāng)∠OAB或∠OBA為直角時(shí)，不妨設(shè)∠OAB為直角，由直線l的斜率為1，可得直線OA的斜率為-1，可得x₁和y₁的關(guān)系進(jìn)而求得x₁和m．
解答：解：（Ⅰ）由已知，，
所以a=2，，
又a²=b²+c²，所以b=1，
所以橢圓C的方程為；．
（Ⅱ）聯(lián)立，
消去y得5x²+8mx+4m²-4=0，△=64m²-80（m²-1）=-16m²+80，
令△＞0，即-16m²+80＞0，解得．
設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
（ⅰ）當(dāng)∠AOB為直角時(shí)，
則，
因?yàn)椤螦OB為直角，所以，即x₁x₂+y₁y₂=0，
所以2x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²=0，
所以，解得．
（ⅱ）當(dāng)∠OAB或∠OBA為直角時(shí)，不妨設(shè)∠OAB為直角，
由直線l的斜率為1，可得直線OA的斜率為-1，
所以，即y₁=-x₁，
又；，
所以；，，，
經(jīng)檢驗(yàn)，所求m值均符合題意，綜上，m的值為和．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用．考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力．