Question

拋物線C的方程為y=ax²(a＜0),過拋物線C上一點P(x₀,y₀)(x₀≠0)作斜率為k₁、k₂的兩條直線分別交拋物線C于A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)兩點(P、A、B三點互不相同),且滿足k₂+λk₁=0(λ≠0且λ≠-1).

(1)求拋物線C的焦點坐標和準線方程;

(2)設直線AB上一點M,滿足,證明線段PM的中點在y軸上;

(3)當λ=1時,若點P的坐標為(1,-1),求∠PAB為鈍角時點A的縱坐標y₁的取值范圍.

Answer 1

(1)解:拋物線C的標準方程x²=y,

∴焦點坐標為(0,),準線方程為y=-.

(2)證明:設PA:y-y₀=k₁(x-x₀),PB:y-y₀=k₂(x-x₀),點P(x₀,y₀)和點A(x₁,y₁)的坐標是方程組的解,消元后化為

ax²-k₁x+k₁x₀-y₀=0,于是x₁+x₀=,x₁=-x₀,               ①

同理,x₂=-x₀,                                                              ②

由已知k₂=-λk₁,則x₂=-k₁-x₀.

設M(x_m,y_m),由,則

x_m=,把①②代入得x_m=-x₀,

即x_M+x₀=0,

∴線段PM中點在y軸上.

(3)解:∵P(1,-1)在拋物線y=ax²上,

∴a=-1,得拋物線y=-x².

由(2)的①式得x₁=-k₁-1.代入拋物線方程y=-x²得y₁=-(k₁+1)²,

將λ=1代入(2)的②式得x₂=k₁-1.

同理得y₂=-(k₁-1)²,

∴A(-k₁-1,-(k₁+1)²),B(k₁-1,-(k₁-1)²).

∴=(2k₁,4k₁),=(k₁+2,k₁²+2k₁).

∴·=2k₁(k₁+2)+4k₁(k₁²+2k₁)=2k₁(k₁+2)(2k₁+1).

∵∠PAB為鈍角,

∴·＜0,

即k₁(k₁+2)(2k₁+1)＜0.

∴k₁＜-2或-＜k₁＜0.

又點A的縱坐標y₁=-(k₁+1)²,

當k₁＜-2時,y₁＜-1,

當-＜k₁＜0時,-1＜y₁＜-.

總之,點A的縱坐標的取值范圍是(-∞,-1)∪(-1,-).