Question

已知定義域為R的函數(shù)f(x)=

1-2x

2x+1+a

是奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）若對任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由奇函數(shù)的定義得f（1）=-f（-1），代入解析式求出a的值；
（2）根據(jù)奇函數(shù)的定義將不等式化為：f（t²-2t）＜f（-2t²+k），再分離函數(shù)解析式，利用指數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷出此函數(shù)的單調(diào)性，再列出關(guān)于x的不等式，由題意轉(zhuǎn)化為：3t²-2t-k＞0恒成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)列出等價不等式求解．

解答：解：（1）由f（x）是奇函數(shù)得，f（1）=-f（-1），
即

1-2

4+a

=-

1- 1 2

1+a

，解得a=2，
（2）∵f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0，
∴f（t²-2t）＜-f（2t²-k），
∵f（x）為奇函數(shù)，
∴f（t²-2t）＜f（-2t²+k）
由（1）得，
 f(x)=

1-2x

2x+1+2

=

-(2x+1)+2

2(2x+1)

=-

1

2

+

1

2x+1

，
∴f（x）在定義域內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)，
∴t²-2t＞-2t²+k，即3t²-2t-k＞0恒成立，
∴△=4+12k＜0，解得k＜-

1

3

，
故k的取值范圍是(-∞，-

1

3

)．

點評：本題主要考查了奇函數(shù)的定義的靈活應(yīng)用，以及分離常數(shù)法，復(fù)合函數(shù)和指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，較綜合，但難度不大．