Question

如圖，平面，四邊形是正方形，，、分別是、的中點．

    （1）求二面角的大小；

（2）求證：平面平面；

（3）求點到平面的距離。

 

Answer 1

【答案】

略

【解析】解法一：（1）∵⊥平面，

∴ 是在平面上的射影．

由是正方形知，

∴ 。

∴ 是二面角的平面角．

∵ ，∴ =45º，

即二面角的大小為45º。………3分

（2）如圖，建立空間直角坐標系至，則

，，，

，∵是的中點，∴ ，

∴ ，，。

設平面的一個法向量為，

平面的一個法向量為。

∴ ，，即有 

令=1，得x1=-2，y1=-1．

∴ 。

同理由，，即有

令z2=1，得x2=0，y2=1，∴ 。

∵ -2×0+(-1)×1+1×1=0，

∴ ，[來源:學*科*網Z*X*X*K]

∴ 平面MND⊥平面PCD．……………………………………………………………6分

（3）設到平面的距離為由（2）知平面的法向量

∵ ，

∴ | |=4，又 ||=，

∴ =

即點P到平面MND的距離為．………………………………………………10分

 

解法二：（1）同解法一．

 

（2）作的中點，連接，如圖．

∵ 平行且等于，平行且等于，

∴ 與平行且相等，于是四邊形是平行四邊形，∴ //。

∵ ，∴ 。∵ 面，∴ 。又∵ ，

∴ ⊥面。∴ 。∴ ⊥面。∴ ⊥面。

又∵面，∴ 平面⊥平面。……………………6分

（3）設到平面的距離為，

由，有，

即，

∴ 。

∵ 在中，．

又，，∴，

即到平面的距離為。…………………………………………………10分