Question

已知z₁=（1-sinθ）+i，其中i為虛數單位，θ∈R．
（1）求|z₁|的取值范圍；
（2）如果z₁和z2=

1

4(1+sinθ)

-

1

2cosθ

•i互為共軛復數，求cosθ的值．

Answer 1

分析：（1）由復數模的計算公式，結合z₁=（1-sinθ）+i，我們易寫出|z₁|的表達式，進而將問題轉化為一個求函數值域的問題，結合三角函數的性質，我們易得|z₁|的取值范圍；
（2）根據互為共軛復數的兩個復數實部相等，虛部相反，我們可以構造一個三角方程，解方程即可求出滿足條件的cosθ的值．

解答：解：（1）∵z₁=（1-sinθ）+i，
∴|z1|=

(1-sinθ)2+1

，
∴當sinθ=1時，|z₁|取最小值1，
當sinθ=-1時，|z₁|取最大值

5

，
所以|z₁|取值范圍為[1，

5

]．

（2）由條件得

1-1sinθ= 1 4(1+sinθ) 1= 1 2cosθ

，
∴cosθ=

1

2

．

點評：本題考查的知識點是復數求模，及復數的基本概率中共軛復數的定義．
（1）中重要的熟練掌握三角函數的性質；
（2）中根據共軛復數的兩個復數實部相等，虛部相反，構造方程是解答本題的關鍵．