Question

【題目】已知橢圓的離心率為，為橢圓上任意一點，且已知.

（1）若橢圓的短軸長為，求的最大值；

（2）若直線交橢圓的另一個點為，直線交軸于點，點關于直線對稱點為，且，三點共線，求橢圓的標準方程.

Answer 1

【答案】（1）5；（2）

【解析】

（1）由，，解方程組得到橢圓的方程，再利用兩點間的距離公式計算即可；

（2）當斜率為時，三點共線；當斜率不為時，設直線，聯立橢圓方程得到根與系數的關系，再利用三點共線，即計算即可得到橢圓方程.

（1）由題意，∴，且，∴，

所以，

設，則

∵，故當時，.

（2）當斜率為時，三點共線；

當斜率不為時，設直線，與橢圓，即聯立得：

，設，，則

，，

又由題知，，∴，

故由三點共線得，即，

∴，∴

代入韋達定理得：，∴，，

故橢圓方程為.