Question

已知函數.

(1)當時，討論函數的單調性；

(2)當時，在函數圖象上取不同兩點A、B，設線段AB的中點為，試探究函數在Q點處的切線與直線AB的位置關系？

(3)試判斷當時圖象是否存在不同的兩點A、B具有（2）問中所得出的結論.

 

Answer 1

（1）函數在定義域上單調遞增；（2）函數在Q點處的切線與直線AB平行；

（3）圖象不存在不同的兩點A、B具有（2）問中所得出的結論.

【解析】

試題分析：（1）求導即可知其單調性；（2）利用導數求出函數在點Q處的切線的斜率，再求出直線AB的斜率，可看出它們是相等的，所以函數在Q點處的切線與直線AB平行；

（3）設，若滿足（2）中結論，則有

，化簡得（*）.如果這個等式能夠成立，則存在，如果這個等式不能成立，則不存在.設，則*式整理得，問題轉化成該方程在上是否有解.再設函數，下面通過導數即可知方程在上是否有解，從而可確定函數是否滿足（2）中結論.

（1）由題知，

因為時，，函數在定義域上單調遞增； 4分

（2），，

所以函數Q點處的切線與直線AB平行； .7分

（3）設，若滿足（2）中結論，有

，即

即 （*） .9分

設，則*式整理得，問題轉化成該方程在上是否有解； 11分

設函數，則，所以函數在單調遞增，即，即方程在上無解，即函數不滿足（2）中結論. 14分

考點：導數的應用.