Question

已知不等式|x-1|≤a（a＞0）的解集為A，函數f(x)=lg

x-2

x+2

的定義域為B．
（1）若a=2，求A∩B；
（2）若A∩B=∅，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由不等式|x-1|≤a（a＞0）的解集為A，知A={x||x-1|≤a（a＞0）}={x|1-a≤x≤1+a}，由函數f(x)=lg

x-2

x+2

的定義域為B，知B={x|

x-2

x+2

＞0}={x|x＞2，或x＜-2}．由此能求出a=2時A∩B．
（2）由（1）知A={x|1-a≤x≤1+a}，B={x|x＞2，或x＜-2}，由A∩B=∅，知

1+a≤2 1-a≥-2

，由此能求出a的范圍．

解答：解：（1）∵不等式|x-1|≤a（a＞0）的解集為A，
∴A={x||x-1|≤a（a＞0）}={x|1-a≤x≤1+a}，
∵函數f(x)=lg

x-2

x+2

的定義域為B，
∴B={x|

x-2

x+2

＞0}={x|x＞2，或x＜-2}．
若a=2時，則A={x|-1≤x≤3}，
∴A∩B={x|2＜x≤3}．
（2）由（1）知A={x|1-a≤x≤1+a}，B={x|x＞2，或x＜-2}，
∵A∩B=∅，
∴

1+a≤2 1-a≥-2

，結合題設條件a＞0解得0＜a≤1．
故a的范圍是（0，1]．

點評：本題考查a=2時求A∩B和若A∩B=∅，求a的取值范圍，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．