Question

已知F₁，F₂是雙曲線的兩個焦點，過F₂作垂直于實軸的直線PQ交雙曲線于P，Q兩點，若∠PF₁Q=

π

2

，則雙曲線的離心率e等于（　　）

• A．

  2

  -1
• B．

  2

• C．

  2

  +1
• D．

  2

  +2

Answer 1

分析：根據題設條件我們知道PQ=

2b2

a

，|F₁F₂|=2c，|QF₁|=

b2

a

，因為∠PF₂Q=90°，則2（

b4

a2

+4c²）=

4b4

a2

，據此可以推導出雙曲線的離心率．

解答：解：由題意可知通徑|PQ|=

2b2

a

，|F₁F₂|=2c，|QF₁|=

b2

a

，
∵∠PF₂Q=90°，∴b⁴=4a²c²
∵c²=a²+b²，∴c⁴-6a²c²+a4=0，∴e⁴-6e²+1=0
∴e²=3+2

2

或e²=3-2

2

（舍去）
∴e=1+

2

．
故選C．

點評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質，考查計算能力．這道題數量間的關系比較繁瑣，推導過程中要多一點耐心．