Question

【題目】已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，且點到直線的距離為， 與的公共弦長為.

（1）求橢圓的方程及點的坐標；

（2）過點的直線與交于兩點，與交于兩點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）的方程為，點的坐標為；（2）.

【解析】試題分析：（1）根據拋物線的幾何性質，求解的值，進而得到橢圓的焦點坐標，即，又由兩曲線的公共點的坐標，代入橢圓的方程，即可求得的值，得到橢圓的方程；

（2）當過點且垂直于軸時，此時的方程為代入橢圓的方程，求得，進而求得此時的值，當與軸不垂直時，可設的方程為，

設，代入橢圓的方程，利用根與系數的關系及韋達定理的應用，化簡即可求解的值。

試題解析：（1）∵的焦點的坐標為，

由點到直線的距離為得.

∵，解得，又為橢圓的一個焦點，∴.

∵與的公共弦長為， 與都關于軸對稱，

而的方程為，從而與的公共點的坐標為，

∴②，

聯立①②解得，

∴的方程為，點的坐標為.

（2）當過點且垂直于軸時， 的方程為代入求得，

∴，把代入求得，∴，

此時.

當與軸不垂直時，要使與有兩個交點，可設的方程為，

此時設

把直線的方程與橢圓的方程聯立得，

消去化簡得，

可得，

∴，

把直線的方程與拋物線的方程聯立得，

消去化簡得，

可得，

∴，

,

∵，∴，∴，

∴，

綜上可得的取值范圍是