Question

設

5 +1

5 -1

的整數部分為a，小數部分為b，（1）求a，b；（2）求a2+b2+

ab

2

；（3）求

lim

n→0

(b+b2+b3+…+bn)．

Answer 1

分析：（1）把式子分母有理化得到式子為

3+ 5

2

，估算出

5

的范圍，確定出整數部分a的值，即可得到b的值；
（2）把a和b代入求出即可；
（3）求出數列b，b²，b³，…，bⁿ的前n項公式代入求出極限即可．

解答：解：（1）因為2＜

5

＜3，而設m=

5 +1

5 -1

=

3+ 5

2

則得到2＜2m-3＜3，求出2.5＜m＜3
則a=2，b=m-2=

5 -1

2

；
（2）把a=2，b=m-2=

5 -1

2

代入得：a2+b2+

ab

2

=4+(

5 -1

2

)2+

5 -1

2

=5；
（3）數列b，b²，b³，…，bⁿ為首項為b，公比為b的等比數列，因為b為小數部分，所以0＜b＜1
則前n項和為

b(1-bn)

1-b

，則

lim

n→0

(b+b2+b3+…+bn)=

lim

n→0

b(1-bn)

1-b

=0

點評：考查學生求等比數列前n項和的能力，以及理解極限定義，運算極限的能力．