Question

已知不等式

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞

1

2

[log2n]，其中n為大于2的整數，[log₂n]表示不超過log₂n的最大整數．設數列{a_n}的各項為正，且滿足a1=b(b＞0)，an≤

nan-1

n+an-1

，n=2，3，4，…
（Ⅰ）證明an＜

2b

2+b[log2n]

，n=3，4，5，…
（Ⅱ）試確定一個正整數N，使得當n＞N時，對任意b＞0，都有an＜

1

5

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當n≥2時，0＜an≤

nan-1

n+an-1

，可得

1

an

-

1

an-1

≥

1

n

，于是有n取2，3，…所有不等式兩邊相加，即可得到

1

an

-

1

a1

＞

1

2

[log2n]，利用a₁=b，即可得到結論；
（Ⅱ）an＜

2b

2+b[log2n]

＜

2

[log2n]

，令

2

[log2n]

＜

1

5

，由此可得結論．

解答：（Ⅰ）證明：當n≥2時，0＜an≤

nan-1

n+an-1

，∴

1

an

≥

1

an-1

+

1

n

即

1

an

-

1

an-1

≥

1

n

，于是有

1

a2

-

1

a1

≥

1

2

，

1

a3

-

1

a2

≥

1

3

，…，

1

an

-

1

an-1

≥

1

n

．
所有不等式兩邊相加可得

1

an

-

1

a1

≥

1

2

+

1

3

+…+

1

n

．
由已知不等式知，當n≥3時有

1

an

-

1

a1

＞

1

2

[log2n]．
∵a₁=b，∴

1

an

＞

1

b

+

1

2

[log2n]，
∴an＜

2b

2+b[log2n]

，n=3，4，5，…
（Ⅱ）解：an＜

2b

2+b[log2n]

＜

2

[log2n]

，令

2

[log2n]

＜

1

5

則有log2n≥[log2n]＞10，⇒n＞210=1024，
故取N=1024，可使當n＞N時，都有an＜

1

5

．

點評：本題考查新定義，考查不等式的證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．