Question

（本小題滿分12分）

如圖，在四棱錐S － ABCD中，底面ABCD是直角梯形，側棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA ="AB=BC" =2，AD =1．M是棱SB的中點．

（Ⅰ）求證：AM∥面SCD；

（Ⅱ）求面SCD與面SAB所成二面角的余弦值；

（Ⅲ）設點N是直線CD上的動點，MN與面SAB所成的角為，求sin的最大值，

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）平面SCD與平面SAB所成二面角的余弦值為.

（Ⅲ）時，.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）以點A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，

則

， ，，，，.

則.

設平面SCD的法向量是則

即

令，則，于是.

，.

 AM∥平面SCD. …………………………（4分）

（Ⅱ）易知平面SAB的法向量為.設平面SCD與平面SAB所成的二面角為，

則，即.

平面SCD與平面SAB所成二面角的余弦值為.………………………（8分）

（Ⅲ）設，則.

又，面SAB的法向量為，

所以，.

.

當，即時，.…………………………（12分）

考點：本題主要考查立體幾何中線面平行及角的計算，空間向量的應用

點評：典型題，立體幾何中平行、垂直關系的證明及角的計算問題是高考中的必考題，通過建立適當的坐標系，可使問題簡化。