Question

在邊長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中點，F是DD₁的中點，
（1）求點A到平面A₁DE的距離；
（2）求證：CF∥平面A₁DE；
（3）求二面角E-A₁D-A的平面角大小的余弦值．

Answer 1

分析：（1）分別以DA，DC，DD₁為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，利用向量的點到平面的距離公式即可求得點A到平面A₁DE的距離；
（2）確定

CF

•

n

=-2+2=0，可得

CF

⊥

n

，從而可得CF∥平面A₁DE；
（3）確定平面A₁DA的法向量、平面A₁DE的法向量，利用向量的夾角公式，即可得到結論．

解答：（1）解：分別以DA，DC，DD₁為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則A（2，0，0），A₁（2，0，2），E（1，2，0），
D（0，0，0），C（0，2，0），F（0，0，1），
∴

DA1

=（2，0，2），

DE

=（1，2，0），

DA

=（2，0，0）
設平面A₁DE的法向量是

n

=（a，b，c）
則

n • DA1 =2a+2c=0 n • DE =a+2b=0

，∴

n

=（-2，1，2）
∴點A到平面A₁DE的距離是d=

| DA • n |

| n |

=

4

3

；
（2）證明：∵

CF

=（0，-2，1），
∴

CF

•

n

=-2+2=0，∴

CF

⊥

n

，
∴CF∥平面A₁DE；
（3）解：∵平面A₁DA的法向量為

m

=（0，2，0），平面A₁DE的法向量是

n

=（-2，1，2）
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

2

2• 4+1+4

=

1

3

．

點評：本小題主要考查點、線、面間的距離計算、直線與平面平行的判定等基礎知識，考查運算求解能力，考查空間想象能力，屬于中檔題．