Question

已知f(x)=

ax+b

x2+1

是定義在（-∞，+∞）上的奇函數，且滿足f(

1

2

)=

2

5

，f(0)=0
（1）求實數a，b，并確定函數f（x）的解析式
（2）用定義證明f（x）在（-1，1）上是增函數．

Answer 1

分析：（1）利用函數的奇偶性即可求出；
（2）利用函數的單調性即可證明．

解答：解：（1）由滿足f(

1

2

)=

2

5

，f(0)=0，
∴

1 2 a+b 1 4 +1 = 2 5 b=0

，解得

a=1 b=0

．
∴a=1，b=0，f(x)=

x

x2+1

；
（2）證明：設-1＜x₁＜x₂＜1，
f(x2)-f(x1)=

x2

x 2 2 +1

-

x1

x 2 1 +1

=

x2x12+x2-x1 x 2 2 -x1

( x 2 2 +1)( x 2 1 +1)

=

(x2-x1)(1-x1x2)

(x22+1)(x12+1)

，
∵-1＜x₁＜x₂＜-1，∴-1＜x₁•x₂＜1，即1-x₁x₂＞0，x₂-x₁＞0，x12+1＞0，x22+1＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁）．
所以函數f（x）在（-1，1）上是增函數．

點評：熟練掌握函數的奇偶性和單調性是解題的關鍵．