Question

已知f(x)=

ax+1

x-1

，x∈（1，+∞），f（2）=3
（1）求a；
（2）判斷并證明函數單調性．

Answer 1

分析：（1）由已知中函數的解析式，將x=2，f（2）=3代入構造a的方程，解方程可得答案．
（2）任取1＜x₁＜x₂，我們構造出f（x₂）-f（x₁）的表達式，根據實數的性質，我們易出f（x₂）-f（x₁）的符號，進而根據函數單調性的定義，得到答案．

解答：解：（1）∵f(x)=

ax+1

x-1

，x∈（1，+∞），f（2）=3
∴3=

2a+1

2-1

，
解得a=1．
（2）∴f(x)=

x+1

x-1

=1+

2

x-1

．
函數f(x)=1+

2

x-1

在區間（1，+∞）是單調減函數．理由如下：
設1＜x₁＜x₂，f（x₂）-f（x₁）=

2

x2-1

-

2

x1-1

=

2(x1-x2)

(x1-1)(x2-1)

因為1＜x₁＜x₂，，所以x₁-x₂＜0，x₁-1＞0，x₂-1＞0，
所以f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁）
所以函數f(x)=1+

2

x-1

在區間（1，+∞）是單調減函數．

點評：本題主要考查的知識點是函數單調性的判斷與證明，其中作差法（定義法）證明函數的單調性是我們中學階段證明函數單調性最重要的方法，一定要掌握其解的格式和步驟．