Question

已知橢圓(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F₁、F₂，若以F₂為圓心，b－c為半徑作圓F₂，過橢圓上一點P作此圓的切線，切點為T，且|PT|的最小值不小于(a－c)．

(1)證明：橢圓上的點到F₂的最短距離為a－c；

(2)求橢圓的離心率e的取值范圍；

(3)設橢圓的短半軸長為1，圓F₂與x軸的右交點為Q，過點Q作斜率為k(k＞0)的直線l與橢圓相交于A、B兩點，若OA⊥OB，求直線l被圓F₂截得的弦長S的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)假設橢圓上的任一點P(x0，y0) 　　則|PF2|2＝(x0－c)2＋y02由橢圓方程易得|PF2|2＝x－2cx0＋c2＋b2，顯然當x0＝a時，|PF2|最小值為a－c．4分 　　(2)依題意知當且僅當取得最小值時，取最小值 　　∴，又因為b－c＞0， 　　得；8分 　　(3)依題意Q點的坐標為，則直線的方程為，代入橢圓方程得 　　設，則，，；10分 　　又OA⊥OB，∴·＝0， 　　∴，即，直線的方程為 　　圓心到直線的距離 　　由圖象可知 　　；12分 　　由得∴；14分