Question

30、函數f（x）對任意實數x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且當x＜0時，f（x）＜1，
（1）求f（0）；
（2）求證：f（x）在R上為增函數；
（3）若f（4）=7，解不等式f（x²+x）＜4．

Answer 1

分析：解：（1）用賦值法求得；（2）因為是抽象函數，所以必須用單調性定義來證明；（3）將4化為函數值的形式，利用函數的單調性定義解不等式．

解答：解：（1）由f（0+0）=f（0）+f（0）-1，得f（0）=1（3分）
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₂＜x₁（4分）
由題意，有f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₁）+f（x₂-x₁）-1（6分）
∵x₂-x₁＜0
∴f（x₂-x₁）＜1（7分）
∴f（x₂）＜f（x₁）（8分）
∴f（x）在R上為增函數（9分）
（3）∵f（2+2）=f（2）+f（2）-1
∴f（2）=4（10分）
又∵f（x）在R上遞增
∴x²+x＜2（11分）
∴不等式解集為{x|-2＜x＜1}（12分）

點評：本題主要考查在解決抽象函數時，要注意靈活運用賦值法和單調性和奇偶性定義．