Question

例5．已知函數f（x）對其定義域內的任意兩個數a，b，當a＜b時，都有f（a）＜f（b），證明：f（x）=0至多有一個實根．

Answer 1

【答案】分析：正面證明難以下手，考慮用反證法，對于含有“至多”等形式的命題，常考慮用反證法．
解答：解：假設f（x）=0至少有兩個不同的實數根x₁，x₂，不妨假設x₁＜x₂，
由方程的定義可知：f（x₁）=0，f（x₂）=0
即f（x₁）=f（x₂）
由已知x₁＜x₂時，有f（x₁）＜f（x₂）這與式①矛盾
因此假設不能成立
故原命題成立．
注：反證法時對結論進行的否定要正確，注意區別命題的否定與否命題．
點評：反證法是一種簡明實用的數學證題方法，也是一種重要的數學思想．相對于直接證明來講，反證法是一種間接證法．它是數學學習中一種很重要的證題方法．其實質是運用“正難則反”的策略，從否定結論出發，通過邏輯推理，導出矛盾．