Question

已知函數為常數）．
（I）若函數f（x）在x=1和x=3處取得極值，試求p，q的值；
（Ⅱ）在（I）的條件下，求證：方程f（x）=1有三個不同的實數根；
（Ⅲ）若函數f （x）在（一∞，x₁）和（x₂，+∞）單調遞增，在（x₁，x₂）上單調遞減，又x₂-x₁＞l，且x₁＞a，試比較a²+pa+q與x₁的大小．

Answer 1

解：（I）對函數f（x）求導數，得f'（x）=x²+（p-1）x+q
由題意，得x=1和x=3是方程x²+（p-1）x+q=0的兩個實數根，則
解之得p=-3，q=3．
經檢驗可得p=-3，q=3符合題意．
（II）由（I）得f（x）=x³-2x²+3x，設g（x）=f（x）-1=x³-2x²+3x-1
則g'（x）=x²-4x+3=（x-1）（x-3），
當x＜1或x＞3時，g'（x）＞0；當1＜x＜3時，g'（x）＜0
∴函數g（（x）在區間（-∞，1）和（3，+∞）上是增函數；在區間（1，3）上是減函數
由此可得g（1）是g（x）的極大值，而g（3）是g（x）的極小值
∵g（1）=＞0，g（3）=-1＜0，
∴結合g（0）=-1＜0，g（4）=＞0，可得g（x）=0在區間（0，1）、（1，3）、（3，4）上分別有一個零點
由以上證明過程，可得方程f（x）=1有三個不同的實數根；
（III）由題意，得x₁、x₂為函數的兩個極值點．
即得x₁、x₂為方程x²+（p-1）x+q=0的兩個實數根，
∴x₁+x₂=1-p，x₁x₂=q
由已知x₂＞x₁＞a，得x₁-a＞0且x₂-a＞0
而x²+（p-1）x+q=（x-x₁）（x-x₂）
則a²+pa+q-a=a²+（p-1）a+q=（a-x₁）（a-x₂）＞0
∴a²+pa+q-x₁=a²+（p-1）a+q+a-x₁=（a-x₁）（a+1-x₂）
∵x₂-x₁＞l，x₁＞a，得x₂＞l+x₁＞a+l，a+1-x₂＜0
∴a²+pa+q-x₁＞0，可得a²+pa+q＞x₁
分析：（I）由函數的極值與導數的關系，得x=1和x=3是方程x²+（p-1）x+q=0的兩個實數根，利用根與系數的關系建立關于p、q的方程組，解之即可得到p、q的值；
（II）結合（I）的條件，給出g（x）=f（x）-1=x³-2x²+3x-1，利用導數討論g（x）的單調性，得g（x）的極大值g（1）=＞0，而極小值g（3）=-1＜0．由此可得函數y=g（x）在R上有三個零點，即可證出方程f（x）=1有三個不同的實數根；
（III）根據題意，得x₁、x₂為方程f'（x）=0即x²+（p-1）x+q=0的兩個實數根，得到x²+（p-1）x+q=（x-x₁）（x-x₂），從這個等式出發，采用構造法可得出a²+pa+q-x₁=（a-x₁）（a+1-x₂），再討論所得式子的正負，即可證出a²+pa+q＞x₁．
點評：本題給出多項式函數，在已知其極值點的情況下求參數的值，并討論關于x的方程的根個數．著重考查了多項式函數根的存在性及根的個數判斷和利用導數研究函數的極值等知識點，屬于中檔題．