Question

已知點P（4，4），圓C：與橢圓E：有一個公共點A（3，1），F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點，直線PF₁與圓C相切．

（1）求m的值與橢圓E的方程；

（2）設Q為橢圓E上的一個動點，求的取值范圍．

Answer 1

解析：（1）點A代入圓C方程，得．

∵m＜3，∴m＝1．圓C：．

設直線PF₁的斜率為k，則PF₁：，

即．∵直線PF₁與圓C相切，∴．解得．

當k＝時，直線PF₁與x軸的交點橫坐標為，不合題意，舍去．

當k＝時，直線PF₁與x軸的交點橫坐標為－4，∴c＝4．F₁（－4，0），F₂（4，0）．  

  2a＝AF₁＋AF₂＝，，a²＝18，b²＝2．

橢圓E的方程為：．

（2），設Q（x，y），，．

∵，即

而，∴－18≤6xy≤18．

 ∴的取值范圍是[0，36]，

即的取值范圍是[－6，6]．

∴的取值范圍是[－12，0]．